Galileo y la determinación de "g": trabajo en grupo

Una vez nos hemos leído el capitulo 3 del libro "De Arquímedes a Einstein", estamos preparados para calcular "g" en el experimento que realizó Galileo desde la torre Pisa. Pero no sólo eso; también realizaremos otros cálculos, como algunas velocidades, gráficas, etc. Vamos a reencarnarnos en Galileo y ponernos manos a la obra, continuar un poco con sus teorias y sus prácticas, pero con muchos más medios para ello. Hay que contar con que Galileo no tenía muchos medios para hacerlo, y aún así lo hizo con una tasa de error increíblemente pequeña, algo que no está nada mal teniendo en cuenta que las medidas de los tiempos las tomaba en un sistema de medición bastante especial: utilizaba el laúd para realizar sus cálculos, cada nota era una medida de tiempo. Nosotros podríamos intentarlo, pero ya en nuestros ratos libres, porque este trabajo hay que realizarlo con la mayor exactitud. Dicho esto es hora de ponernos manos a la obra:

En primer lugar, hemos anotado los datos que nos han proporcionado Víctor y Ángel en su video, y los hemos puesto en una tabla.

Con ayuda de esta, hemos creado una gráfica de posición (h) frente a tiempo, que nos ha salido así:

En esta gráfica puede llamar la atención que el incremento de la distancia recorrida no nos haya salido lineal (que es lo que debería haber salido, según Aristóteles), sino exponencial. Esto se debe a que el movimiento que hemos representado no es un movimiento rectilíneo uniforme acelerado, en el que la distancia es proporcional al tiempo, sino que es un MRUA, movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. En este tipo de movimientos, la velocidad aumenta linealmente; la posición, en cambio, aumenta de manera exponencial, ya que es proporcional al incremento del tiempo elevado al cuadrado.




Como no sabemos la aceleración, no tenemos los medios para calcular la velocidad instantánea que lleva la bola en cada punto; sin embargo, vamos a intentar hacer una aproximación, calculando la velocidad media de cada intervalo. Para ello llamaremos a las distintas posiciones con números:




h= 0 => posición 0
h= 0,025 => posición 1
h= 0,12 => posición 2
h= 0,27 => posición 3
h= 0,49 => posición 4
h= 0,78 => posición 5
h= 1,13 => posición 6





Ahora, no hay más que ir calculando las velocidades medias por intervalos, para obtener velocidades aproximadas a las instantáneas.

Con estos datos, podemos elaborar una tabla con las velocidades medias y el tiempo, y con su ayuda, elaborar una gráfica de velocidad frente a tiempo en la que, con un poco de suerte, la aceleración que nos saldrá será la gravedad.









Se puede observar que, más o menos, nos sale una gráfica lineal. Con esto, hemos comprobado que, en efecto, se trata de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, ya que la velocidad no se mantiene constante, sino que cambia proporcionalmente al tiempo. La razón de la proporcionalidad entre ambas magnitudes, que es lo mismo que la inclinación de la recta que nos ha salido en la gráfica, es igual a la aceleración que buscamos, "g".


Este valor, "g", es la gravedad, que es una aceleración que atrae a todos los objetos, en el caso de la Tierra, hacia el núcleo terrestre. Toda la superficie de la Tierra está sometida a esta aceleración, que es, aproximadamente, de 9,8m/s2. En esta gráfica se puede ver la velocidad frente al tiempo y, cogiendo los últimos valores de la tabla, hemos intentado demostrar que, en efecto, la gravedad terrestre es de 9,8m/s2.

Dado que la gravedad es una aceleración, su fórmula es la velocidad dividida entre el tiempo.

Así, g=∆Vm/∆t => g=h6-h04/t6-t0 = 4,375/0,48= 9,11458 m/s2

El resultado que hemos obtenido para g es 9,115 m/s2 (aproximadamente). Es un valor que se acerca bastante a la realidad, con un margen de error bajísimo. No es exactamente igual al que debería salir, 9,8 m/s2, porque siempre hay pequeños errores experimentales, ya que es muy difícil ser completamente exacto. Sin embargo, nos hemos acercado mucho más de lo que lo hubiéramos hecho tomando los datos nosotros mismos.

Además, otra de las razones por las que no sale exactamente igual al valor teórico es porque las bolas sufrían fuerza de rozamiento, debido al aire. El rozamiento es una fuerza que aparece cuando hay dos cuerpos en contactoy que no depende del tamaño de la superficie de contacto de los dos cuerpos, sino de los ¨materiales¨ de los que están hechos. Galileo, al hacer la medida, no tuvo en cuenta esto. Nosotros, al fabricar la grafica con datos experimentales, sin quererlo, lo hemos incluido en nuestros datos.

El rozamiento es una fuerza disipativa que hace que las bolas, cuando caigan, pierdan parte de su velocidad. Sin embargo, el rozamiento con el aire es muy pequeño, e incluso despreciable, por lo que concluimos que no nos ha salido a la perfección por pequeños fallos experimentales.

Y ahora, vamos a intentar averiguar la V6 usando energías. Para ello, empezaremos explicando un poco la conservación de la energía mecánica, para después realizar el experimento con mayor claridad. Empecemos con un ejemplo: Cuando la pila de una linterna se agota ¿dónde ha ido a parar la energía química proporcionada por la pila? Esa pregunta mucha gente se la hace sin saber responderla, pero he aqui la solución: esta energía se ha transformado en calor y luz. Así pues, la energía no se pierde, sino que se transforma en otras formas de energía, es decir, la energía se conserva. Cuando la bola de Galileo está en el punto mas alto, únicamente la bola tiene energia potencial, que se va a convertir en energia cinética al caer, como hemos estudiado, pero ¿se conservará? La energía mecánica es la suma de energía potencial más energía cinética, y no se conserva, ya que hay rozamiento con el aire. Ese es el motivo por el que no se conservará la energía mecánica. En el caso en el que no hubiese rozamiento sí que se conservaría, pero mientras haya rozamiento no se conservará, ya que parte de la energía mecánica se transformará en calor por el rozamiento. Pero vamos a ver qué pasa realizando los cálculos de la velocidad mediante este principio.

En la posición 0 la energía va a ser toda potencial, y en la posición 6 va a haber potencial y cinética, ya que la bola aún no ha caído al suelo, con lo cual la energía potencial de arriba (que es igual a la energia mecánica) va a ser igual a la potencial del punto seis más la cinética del punto 6.

Ep(posición 0)= Ep(posición 6) + Ec(posición 6)

mgh= mgh´ + 1/2mv^2

(Se anulan las masas)

9.8(h-h´)=1/2v^2

9.8 . 1,13= 1/2v^2

11.07= 1/2v^2

v= 4.7 m/s

Calcularemos la velocidad mediante ecuación de cinemática:

v= gt v= 9.8 . 0.48 = 4.7 m/s

Como podemos observar da el mismo resultado con lo cual no ha habido errores en el calculo.

Como conclusión, podemos decir que Galileo, aunque no sabía qué era aquello de la gravedad, logró comprender a la perfección los movimientos rectilíneos uniformemente acelerados, y con unos medios muy precarios logró enunciar ciertas leyes, muy importantes para las generaciones siguientes de físicos.